KÜME KAVRAMI

KÜME KAVRAMI

Küme Nedir?

İyi tanımlanmış birbirinden farklı nesneler topluluğuna küme denir. Kümeler A, B, C gibi büyük harflerle isimlendirilir.

Tanımdaki iyi tanımlanmış, herkes tarafından aynı şekilde bilinen, belirli olan nesneler demektir. Örneğin “iyi insanlar” küme belirtmez çünkü iyi insanlar herkes için aynı değildir. Daha fazla örnek aşağıda

Çeşitli nesnelerin bir araya getirilmesiyle oluşturulan gruplara küme denir. Küme; A, B, C,… gibi büyük harflerle gösterilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman denir. A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir. x nesnesi A kümesinin elemanı ise x€A şeklinde gösterilir. Kümenin içerisine aynı eleman iki defa yazılmaz.

ELEMAN VE ELEMAN SAYISI

Kümeyi oluşturan her nesneye o kümenin elemanı denir. Elemanıdır sembolü ∈ ile gösterilir. Elemanı değildir sembolü ∉ ile gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı sembolle s(A) şeklinde gösterilir.

ÖRNEK: A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun.

Pazar A kümesinin elemanıdır. → Pazar ∈ A

Salı A kümesinin elemanı değildir. → Salı ∉ A

A kümesinin eleman sayısı 3′ tür. → s(A) = 3

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

LİSTE YÖNTEMİ

Kümeye ait elemanların küme parantezi yani “{ }” şekli içerisine aralarına virgül konularak yazılm

liste yöntemi denir. Kümenin her bir elemanı yalnızca bir kez yazılır ve elemanların yerinin değiştirmesi yeni bir küme oluşturmaz.

ÖRNEK: Rakamlar kümesini liste yöntemiyle yazalım.

Rakamlar kümesini R harfiyle isimlendirecek olursak R = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 }

ÖRNEK: MATEMATİK kelimesinin harflerini liste yöntemiyle yazalım.

Bu kümeyi M harfiyle isimlendirecek olursak M = { M, A, T, E, İ, K }

ÖRNEK: H = { #, AA, 2, 34 } kümesinin elemanlarını belirleyelim.

H kümesi 4 elemanlıdır. Bunlar #, AA, 2 ve 34’tür.

ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ

Kümeye ait elemanların tek tek yazılmak yerine ortak özelliklerinin yazılmasına ortak özellik yöntemi denir. Ortak özellik yöntemiyle kümelerin gösterimi şu şekildedir: { x | x’lerin ortak özelliği }
Öyle ki anlamına gelen “ | ” sembolü yerine “ : ” sembolü de kullanılabilir.

ÖRNEK: Aşağıda liste yöntemiyle verilen kümeleri ortak özellik yöntemiyle yazalım.

A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

B = { a, b, c, ç }

C = { 10, 11, 12, 13 }

Kümeler ortak özellik yöntemiyle farklı şekillerde de yazılabilir. Önemli olan yazılan kümenin tam olarak (ne eksik ne fazla) kümenin elemanlarını belirtmesidir.

A = { x | x, bir rakam }

B = { x : x, Alfabemizin ilk dört harfinden biri }

C = { x : 9 < x < 14 , x bir doğal sayı }

VENN ŞEMASI

Kümeye ait elemanların kapalı bir eğri içerisinde ve her elemanın başına bir nokta konularak gösterilmesine Venn şeması yöntemi denir.

ÖRNEK: A = { a, b, c } kümesini Venn şemasıyla gösterelim.

KÜMELER

Boş Küme

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da ∅

sembolleri ile gösterilir..

ÖRNEK: Ç harfiyle başlayan aylar kümesine A kümesi dersek A kümesi boş küme olur.

Bu durum A = { } ya da A = ∅

şeklinde gösterilir ve s(A) = 0 olur.

NOT: { ∅

} ve { 0 } kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip kümelerdir.

EVRENSEL KÜME

Üzerinde işlem yapılan tüm kümelere ait elemanları içinde bulunduracak şekilde seçilen kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme E harfi ile gösterilir.

ÖRNEK: A = { 1, 2, 3 } ve B = { 5, 12 } kümeleri için evrensel kümeler yazalım.

E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12 }

E = { x | x, bir doğal sayı }

E = { x | 0 < x < 20 , x bir tam sayı }

SONLU VE SONSUZ KÜME

Eleman sayısı bir doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere sonlu küme, edilemeyen kümelere sonsuz küme denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerden hangilerinin sonlu hangilerinin sonsuz küme olduğunu belirleyelim.

A = { a, b, c, ç } → A kümesi sonlu kümedir.

B = { x | 12 < x , x bir tam sayı } → B kümesi sonsuz kümedir.

C = { x | 1 < x < 33 , x bir doğal sayı } → C kümesi sonlu kümedir.

D = { x | 1 < x < 33 , x bir rasyonel sayı } → D kümesi sonsuz kümedir.

ALT KÜME

A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir ve A ⊂B ya da A ⊆ B ile gösterilir. Bu durumda B kümesi A kümesini kapsar. Bu ifade ise B ⊃ A ya da B ⊇A ile gösterilir.

ÖRNEK: A = { 1, 2, 3 } ve B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümelerini Venn şemasıyla gösterelim.

Venn şemasında da görüldüğü gibi A kümesinin her bir elamanı B kümesinin içinde yer almaktadır. Bu durum “A kümesi B kümesinin alt kümesidir (A ⊂

B) ” veya “B kümesi A kümesini kapsar, (B ⊃
A) ” şeklinde ifade edilir.

A kümesinin B kümesinden farklı en az bir tane elemanı varsa A kümesi B kümesinin alt kümesi değildir ve A ⊄

B ile gösterilir.

ÖRNEK: K = { a, b, c, ç } ve L = { a, d, e, f, c } kümeleri birbirinin alt kümesi değildir. K ⊄

L ve aynı zamanda L ⊄

K olur.

ALT KÜMENİN ÖZELLİKLERİ

Boş küme her kümenin alt kümesidir. ∅⊂A

Her küme evrensel kümenin alt kümesidir. A ⊂E

Her küme kendisinin alt kümesidir. A ⊂A

A, B ve C kümeleri için A ⊂B ve B ⊂ C ise A ⊂C’dir.

ALT KÜME SAYISI

Eleman sayısı n olan bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ dir.

ÖRNEK: A = { 1, 2, 3 } kümesinin tüm alt kümelerini yazalım ve alt küme sayısını bulalım.

0 elemanlı alt kümeleri 1 tanedir. → { }

1 elemanlı alt kümeleri 3 tanedir. → {1} , {2} ve {3}

2 elemanlı alt kümeleri 3 tanedir. → {1,2} , {1,3} ve {2,3}

3 elemanlı alt kümeleri 1 tanedir. → {1,2,3}

A kümesinin toplam 8 alt kümesi vardır. Bu sayı kısaca 2³ = 8 şeklinde bulunabilir.

ÖZ ALT KÜME SAYISI

Bir kümenin kendisi hariç alt kümelerine öz alt kümeleri denir. n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2ⁿ − 1

ÖRNEK: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin öz alt küme sayısı 2⁶ − 1 = 63 şeklinde bulunur.

EŞİT KÜME

Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir. A ve B kümelerinin eşitliği A = B ile gösterilir.

ÖRNEK: K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 } ve L = { x | x , bir rakam } kümeleri eşit kümelerdir ve bu durum K = L şeklinde gösterilir.

NOT: Eşit olmayan A ve B kümeleri A ≠

B şeklinde gösterilir.

ÜMELERDE KESİŞİM VE BİRLEŞİM İŞLEMİ

A ve B gibi iki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin kesişim kümesi denir ve A ∩B biçiminde gösterilir.

A ve B kümelerinin kesişimi ortak özellik yöntemi ile A ∩

B = { x | x ∈ A ve x ∈

B } şeklinde ifade edilir.

A ve B kümelerinin kesişim kümesi, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.
ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim kümelerini bulalım.

A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5, 6, 7 }

A ∩B = { 3, 4 }

K = { a, b, c } ve L = { k, l, m, n, p }

P = { 1, 2, 3, 4 }, R = { 4, 5, 6 } ve S = { 2, 4, 6, 8 }

P ∩R ∩ S = { 4 }

A ve B gibi iki kümenin bütün elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin birleşim kümesi denir ve A ∪

B biçiminde gösterilir.

A ve B kümelerinin birleşimi ortak özellik yöntemi ile A ∪

B = { x | x ∈ A veya x ∈

B } şeklinde ifade edilir.

A ve B kümelerinin birleşim kümesi, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin birleşim kümelerini bulalım.

A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5, 6, 7 }

A ∪B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

K = { a, b, c } ve L = { k, l, m }

K ∪L = { a, b, c, k, l, m }

P = { 1, 2, 3, 4 }, R = { 4, 5, 6 } ve S = { 2, 4, 6, 8 }

P ∪R ∪ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }

NOT: İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimlerinin eleman sayısı çıkarılarak bulunur.

s(A ∪B) = s(A) + s(B) − s(A ∩B)

s(P ∪R) = s(P) + s(R) − s(P ∩R)

s(P ∪R) = 4 + 5 − 2 = 7

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim ve birleşim kümelerini bulalım.

S ∩M = M = { 7, 51 }

S ∪M = S = { 7, 51, 12, 30 }

NOT: Biri diğerinin alt kümesi olan iki kümenin kesişimi kapsanan kümeye, birleşimi kapsayan kümeye eşittir.

A ⊂B ise s(A ∩ B) = s(A) ve s(A ∪ B) = s(B) olur.

NOT: Kesişimleri boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir. Ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamına eşittir.

A ve B ayrık kümeler ise s(A ∪B) = s(A) + s(B) olur.

s(K ∪L) = s(K) + s(L)

s(K ∪L) = 3 + 3 = 6

Kesişim ve Birleşim İşlemlerinin Özellikleri

1) TEK KUVVET ÖZELLİĞİ

Kesişim işleminin tek kuvvet özelliği vardır.

A ∩A = A

Birleşim işleminin tek kuvvet özelliği vardır.

A ∪A = A

2) DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Kesişim işleminin değişme özelliği vardır.

A ∩B = B ∩A

Birleşim işleminin değişme özelliği vardır.

A ∪B = B ∪A

3) BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Kesişim işleminin birleşme özelliği vardır.

A ∩( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩C

Birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.

A ∪( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪C

4) YUTAN VE BİRİM ELEMAN

Kesişim işleminin yutan elemanı boş kümedir.

A ∩∅ = ∅

Birleşim işleminin etkisiz elemanı boş kümedir.

A ∪∅= A

5) DAĞILMA ÖZELLİĞİ

Kesişim işleminin birleşim üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

A ∩( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩C ( B ∪

C ) ∩ A = ( B ∩ A ) ∪ ( C ∩A )

Birleşim işleminin kesişim üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

A ∪( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪C )

( B ∩C ) ∪ A = ( B ∪ A ) ∩ ( C ∪A )

KÜMELERDE FARK İŞLEMİ

A ve B herhangi iki küme olmak üzere A kümesinde olup B kümesinde olmayan tüm elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin B kümesinden farkı denir. A − B ya da A \ B ile gösterilir.

A kümesinin B kümesinden farkı ve B kümesinin A kümesinden farkı ortak özellik yöntemi ile
A \ B = { x | x ∈

A ve x ∉ B } ve B \ A = { x | x ∈ B ve x ∉

A } şeklinde ifade edilir.

A ve B kümelerinin birbirlerinden farkı, Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin birbirinden farklarını bulalım.

A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5 }

A \ B = { 1, 2 }

B \ A = { 5 }

K = { a, b, c } ve L = { ğ, ş }

K \ L = K = { a, b, c }

L \ K = L = { ğ, ş }

NOT: Ayrık iki kümede bir kümenin diğerinden farkı kendisine eşittir.

A \ B = A ve B \ A = B

Fark İşleminin Özellikleri

1) A ≠

B ise A \ B ≠B \ A olur.

Fark işleminde değişme özelliği yoktur.

2) A \ A = ∅

Bir kümenin kendisinden farkı boş kümedir.

3) A \ ∅= A

Bir kümenin boş kümeden farkı kendisidir.

4) A \ E = ∅

Bir kümenin evrensel kümeden farkı boş kümedir.

BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

E evrensel küme olmak üzere A kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir ve A’ ile gösterilir.

A’nın tümleyen kümesi A’ ortak özellik yöntemi ile A’ = { x | x ∉

A ve x ∈

E } şeklinde ifade edilir.

ÖRNEK: Aşağıda Evrensel küme içerisinde verilen A kümesini inceleyelim.

A’ = { 0, 4 }

( A’ )’ = { 1, 2, 3 } = A

A ∩A’ = ∅

A ∪A’ = { 0, 1, 2, 3, 4 } = E

s(A) ∪s(A’) = 3 + 2 = 5 = s(E)

E \ A = { 0, 4 } = A’ E’ = ∅

Şimdi bu örnekten yola çıkarak tümleyenin özelliklerini yazalım.

Tümleme ile İlgili Özellikler

1) ( A’ )’ = A

Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir.

2) A ∩A’ = ∅

Bir kümenin tümleyeni ile kesişimi boş kümedir.

3) A ∪A’ = E

Bir kümenin tümleyeni ile birleşimi evrensel kümedir.

4) s(A) ∪s(A’) = s(E)

Bir kümenin eleman sayısı ile tümleyeninin eleman sayısının toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.

5) E \ A = A’

Evrensel kümenin bir kümeden farkı o kümenin tümleyenidir.

6) E’ = ∅

Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir.

7) ∅

‘ = E

Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir.

NOT: Aşağıda önemli eşitlikler verilmiştir. Bu eşitliklerin doğruluğunu Venn şeması çizerek kolayca görebilirsiniz.

A \ B = A ∩B’ ve B \ A = B ∩A’

DE MORGAN KURALLARI

Sembolik mantıkta olduğu gibi kümelerde de De Morgan kuralları bulunur.

(A ∪B)’ = A’ ∩B’

(A ∩B)’ = A’ ∪B’

şeklinde verilen kurallara De Morgan Kuralları denir.

A= {0, 2, 4, 6 } ve B = { 0, 1, 2, 3 } kümeleri veriliyor. A  B = { 0, 2, 4, 6 }  { 0, 1, 2, 3} = { 0, 2, 4, 6, 1, 3 } kümesidir. B. A A  B.

A kümesinin B kümesinden farkı demek, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümedir. Yalnız A’da olanlar veya sadece A’da olanlar da denir. AB yada A-B olarak gösterilir.