TAM SAYYILAR

TAM SAYILAR

(TOPLAMA-ÇIKARMA0ÇARPMA-BÖLME)( 1.ANLATIM)

 Tamsayılar pozitif tam sayılar kümesi, negatif tam sayılar kümesi ve

sıfırın birleşimi ile oluşan sayı kümesidir. Sayma sayılarının soluna artı anlamında + işareti yazıldığında +1, +2, +3, +4, …sayıları elde edilir. Bu sayılara pozitif tam sayılar denir ve pozitif tam sayılar kümesi Z⁺ ile gösterilir. Sayma sayılarının soluna eksi anlamında işareti yazıldığında -1, -2, -3, -4, … sayıların elde edilir. Bu sayılara negatif tam sayılar denir ve negatif tam sayılar kümesi Z^– ile gösterilir. Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfır, tam sayıları oluşturur ve tam sayılar kümesi Z ile gösterilir.

ÖNEMLİ BİLGİ

» Sıfır ne negatif ne de pozitif tam sayıdır. Sıfırın işareti yoktur.
» Solunda işareti olmayan (sıfır hariç) sayılar pozitif olarak alınır.
» Her doğal sayı aynı zamanda bir tam sayıdır.

TAM SAYILARIN SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERİLMESİ
Tam sayılar sayı doğrusu üzerinde gösterilirken; bir doğru üzerinde bir nokta alınıp sıfır sayısıyla eşlenir ve bu referans noktası olarak alınır. Sağında ve solunda eşit aralıklarla noktalar işaretlenir. Sıfır noktasının sağındaki noktalar sırasıyla +1, +2, +3, … ile, solundaki noktalar sırasıyla -1, -2, -3, … ile eşlenir.

MUTLAK DEĞER 
Mutlak değer; sayı doğrusu üzerindeki herhangi bir sayının referans noktasına olan uzaklığını gösteren sayıya o sayının mutlak değeri denir. Bir sayının mutlak değeri, sayının birbirine paralel iki çizgi arasına yazılmasıyla gösterilir. Aşağıdaki örneklerde de görüldüğü üzere; pozitif veya negatif her tam sayı mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar. Sıfırdan farklı her tam sayının mutlak değeri pozitif tam sayıdır.
I+42I= +42I-12I = +12I-8I = +8

TAM SAYILARIN KARŞILAŞTIRILMASI
1- Sayı doğrusu üzerinde negatif tam sayılar sıfırın solunda, pozitif tam sayıları sıfırın sağındadır.
2- Sıfır, bütün negatif tam sayılardan büyüktür. 0 > -1 > -55 > -99
3- Sıfır, bütün pozitif tam sayılardan küçüktür. 0 < 5 < 42 < 78
4- Sayı doğrusu üzerinde sağa doğru gidildikçe sayılar büyür, sola doğru gidildikçe sayılar küçülür.
5- Pozitif tam sayılar sıfırdan uzaklaştıkça büyür. En küçük tam sayı +1 dir.
6- Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyür. En büyük negatif tam sayı -1 dir.
7- Negatif her tam sayı, pozitif her tam sayıdan küçüktür.
8- Her tam sayı solundaki tüm tam sayılardan büyük, sağındaki tüm tam sayılardan küçüktür.

TAM SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ

Tam sayılarda toplama işlemi yapılırken, verilen tam sayıların aynı veya farklı işaretli oluşlarına göre işlem yapılır.

AYNI İŞARETLİ TAM SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ
Aynı işaretli iki tam sayı toplanırken, sayıların mutlak değeri toplanır, sonuçta bulunan sayının soluna toplanan sayıların ortak işareti yazılır. Aşağıdaki örnekte verilen -7 ve -10 aynı işaretli tam sayılardır. Aynı işaretli oldukları için bu tam sayılar toplanır ve sonucun işareti ise ortak işaret olan (-) işaretidir.
Örnek  : (+5) + (+7) = +12
Örnek  : (-7) + (-10) = -17

FARKLI İŞARETLİ TAM SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ
Farklı işaretli tam sayılarda toplama işlemi yapılırken, sayıların mutlak değerleri bulunur. Bu değerlerin büyük olanından küçük olan çıkarılır. Elde edilen sayının soluna mutlak değerce büyük olan sayının işareti yazılır. Aşağıdaki örnekte verilen +4 ve -8 tam sayıları toplanırken, zıt işaretli oldukları için büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarırız. Sonuca ise büyük sayının işaretini yazarız.
Örnek : (+4) + (-8) = -4
Örnek : (-10) + (+7) = -3

ÖNEMLİ BİLGİ:

1-Herhangi bir sayının sıfır ile toplamı sayının kendisine eşittir.
0 + (-12) = -12

2-Mutlak değeri eşit ve ters işaretli iki tam sayının toplamı sıfırdır.
(+23)+(-23) = 0

3-İkiden fazla tam sayının toplamı bulunurken, aynı işaretli sayılar kendi aralarında toplandıktan sonra ters işaretli sayıların toplanması kolaylık sağlar.
Soru : (-12) + (+5) + (-8) + (+7) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm :

Aynı işaretli tam sayıları bir araya getirerek kendi aralarında toplarız. Daha sonra ise farklı işaretli iki tam sayı toplamı kuralından, birbirinden çıkararak büyük olan sayının işaretini sonuca ekleriz.
(-12) + (-8) + (+7) + (+5) 

(-20) + (+12) = -8

BİR TAM SAYININ TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
İki tam sayının toplamı sıfıra eşit ise bu sayılar toplama işlemine göre birbirinin tersidir. Negatif bir tam sayının toplama işlemine göre tersi

pozitif, pozitif bir tam sayının toplama işlemine göre tersi negatif bir tam sayıdır. Sıfırın toplama işlemine göre tersi sıfırdır.
(+9) un toplama işlemine göre tersi (-9),
(-32) nin toplama işlemine göre tersi +32,
0 (sıfır) ın toplama işlemine göre tersi 0 (sıfır) dır.

TOPLAMA İŞLEMİNİN SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERİLMESİ
Tam sayılarda toplama işlemi sayı doğrusu üzerinde gösterilirken; eklenen sayı pozitif ise sayı doğrusu üzerinde sağa doğru, eklenene sayı negatif ise sola doğru ilerlenir.Yukarıda verdiğimiz örnekte verilen tam sayıların her ikisi de pozitif sayı olduğu için sağa doğru ilerleyerek sonucu +8 olarak bulduk. Örneğimiz (+3) + (-5) şeklinde olsaydı; ilk önce 3 birim sağa ilerleyerek +3′ e gelirdik. Daha sonra beş birim sola doğru ilerlerdik (5 negatif olduğu için). Sonucu -2 olarak bulurduk.

Tam Sayılarda Toplama İşlemi Özellikleri
1-)Kapalılık Özelliği: iki tam sayının toplamı yine bir tam sayıdır.
(+8) + (+4) = +12 örneğinde toplanan tam sayıların sonucu olan +12 bir tam sayıdır.

2-)Değişme Özelliği: Tam sayılarda yapılan toplama işleminde terimlerin yerlerinin değişmesi sonucu değiştirmez.
(-4) + (-3) = -7
(-3) + (-4) = -7

3-)Birleşme Özelliği: Tam sayılarda toplama işlemi yapılırken, terimler ikişer ikişer değişik biçimlerde gruplandırılarak toplanırsa sonuç değişmez.
[(+7) + (-5)] + (+8) = +10
(+7)+ [(-5) + (+8)] = +10

4-)Etkisiz Eleman Özelliği: Bir tam sayının sıfır (0) ile toplamı yine kendisineeşittir. Bu nedenle sıfır (0) toplama işleminin etkisiz elemanıdır.

5-)Ters Eleman Özelliği: Mutlak değerleri eşit, işaretleri zıt olan iki tam sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir. (-5) ve (+5) tam sayılarının mutlak değerleri birbirine eşit ve işaretleri birbirinin tersi olduğu için bu sayılar birbirinin tersidir.

TAM SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ

Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken; çıkanın işareti değiştirilir ve eksilen sayı ile toplanır.

Örnek: (+6) – (-4) işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: İlk önce çıkan sayının işaretini değiştirelim. Eksilen sayımız olan -4 işaret değiştirerek +4 olacaktır ve bu tam sayılar arasındaki işlem toplamaya dönüşecektir. İfademizin yeni hali aşağıdaki gibidir.
(+6) + (+4)

ÇIKARMA İŞLEMİNİN SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERİMİ

Tam sayılarda çıkarma işlemini sayı doğrusu üzerinde gösterirken; ilk önce sıfırdan başlayarak eksilen sayıya ok çiziyoruz. Yukarıda verilen örnekte eksilen sayımız -7 dir. Bu nedenle ilk önce sıfırdan -7 ye ok çiziyoruz. Daha sonra çıkan sayımızın işaretini değiştiriyoruz. Örnekteki çıkan sayı -5 tir ve işareti değişince +5 olur. Şimdi ise pozitif sayılarda sağ tarafa ilerlediğimiz için -7 noktasından 5 birim sağa doğru ilerleyerek -2 noktasına ulaşıyoruz.

Tam sayılarda çıkarma işleminde değişme özelliği ve birleşme özelliği yoktur. Toplama işlemindeki gibi kapalılık özelliği ve etkisiz eleman özelliği vardır.

TAM SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ

Tam sayılarda çarpma işlemi, terimleri aynı olan toplama işleminin kısa yoldan yapılışıdır.

 Örneğin; +5 +5 +5 +5 =20 işleminde 4 tane 5 toplanmıştır. Bu işlem kısaca 4 . 5 = 20 şeklinde de yapılabilir.

Tam sayılarla çarpma işleminde; Aynı işareti iki tam sayının çarpı pozitiftir. Farklı işaretli iki tam sayının çarpımı ise negatiftir.

ÇARPMA İŞLEMİNİN SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERİMİ

Tam sayılarda çarpma işlemi ile ilgili, yukarıda verilen örnekte 4 . 2 işlemi, 4 tane 2 nin toplamı demektir. Dört defa iki birim ilerlenerek 8 sonucuna ulaşılmıştır. Bu soruyu isterseniz 2 . 4 şeklinde de çizebilirsiniz. İki kere 4 birim ilerleyerek sonucu yine 8 olarak bulursunuz.

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

1-Değişme  Özelliği:Tam sayılarda çarpma işlemi değime özelliğine sahiptir. (-2) . (+3) işleminin sonucu ile (+3) . (-2) işleminin sonucu aynıdır.

2-Birleşme Özelliği: [(-2) . (+4)] . (+2) işlemi ile (-2) . [ (+4) . (+2) ] işleminin sonucu aynıdır. Her iki çarpma işleminde de sonuç (-16) olarak bulunur.

3-Yutan Eleman Özelliği: Bütün tam sayıların sıfır (0) ile çarpımı sıfırdır. Sıfır çarpma işleminde yutan elemandır.
4-Etkisiz Eleman Özelliği: Tam sayılarda yapılan çarpma işleminde bir (1) etkisiz elemandır. Bütün tam sayıların bir (1) ile çarpımı kendisine eşittir.
5-Dağılma Özelliği: Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği vardır.

TAM SAYILARDA  BÖLME İŞLEMİ

Tam sayılarla bölme işlemi yaparken dikkat etmemiz gereken en önemli nokta verilen tam sayıların işaretleridir. Verilen tam sayılar aynı işaretli ise; bölümün sonucu pozitiftir. Farklı işaretli iki tam sayının bölümü ise negatiftir.

Aynı işaretli iki tam sayı bölünürken sayıların mutlak değerleri bölünüp, bulunan sonucun soluna + işareti yazılır. Farklı işaretli iki tam sayı bölünürken sayıların mutlak değerleri bölünüp, bulunan sonucun soluna – işareti yazılır.

ÖNEMLİ BİLGİ:

1- Bir tam sayının +1 e bölümü, sayının kendisine eşittir.
2- Bir tam sayının -1 e bölümü sayının toplama işlemine göre tersine eşittir.
3- Bir tam sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
4- Sıfırın bir tam sayıya (sıfır hariç) bölümü sıfırdır.

TAM SAYILARDA

(TOPLAMA- ÇIKARMA-ÇARPMA-BÖLME) (İKİNCİ ANLATIM)

Tam sayıları toplarken şu kurala göre hareket etmeliyiz.
1- “+” işaretli yani pozitif sayılar ⇒ Cebimizdeki parayı göstersin.
2- “-” işaretli yani negatif sayılar ⇒ Borcumuzu göstersin. 

3- Toplama işleminde sayıların belirttiği anlamı kavramak için aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
8 ⇒ Cebimde 8 liram var.
+10 ⇒ Cebimde 10 liram var.
-3 ⇒ 3 lira borcum var.
(+12) ⇒ Cebimde 12 liram var.
(-100) ⇒ 100 lira borcum var.
+ 75 ⇒ Cebimde 75 liram var.

AMACIMIZ ŞU; borcumuz varsa borcumuzu ödeyeceğiz, borcumuz yoksa sahip olduğumuz tüm parayı belirleyeceğiz.

ÖRNEK:          5 + 3 = ?
ÇÖZÜM:  6.sınıfta öğrendiğimiz üzere eğer sayının önünde hiçbir sembol yoksa aslında gizli bir “+” işareti vardır. Yani pozitif sayıların artı sembolünü sayının önüne yazabiliriz de, yazmaya biliriz de. Bu bilgileri hatırladıktan sonra yukarıdaki örneğin aslında şu şekilde olduğunu kavrarız.  (+5) + (+3) = ? Şimdi bu toplama işlemini düşünelim. Yukarıda yazmıştık. Sayının önünde artı varsa bu cebimizdeki parayı gösteriyordu. Yani +5 sayısı cebimizde 5 lira olduğunu, +3 sayısı da cebimizde 3 lira olduğunu söylemektedir. Sonuç olarak bir cebimizde 5, diğer cebimizde 3 liramız olduğuna göre aslında bizim sahip olduğumuz para 8 liradır.
Öyleyse 5 + 3 = 8 eder. Bulduğumuz 8 sayısının önünde koymadığımız bir artı sembolü vardır, istersek sonucu +8 olarak da yazabiliriz, her iki sonuç da doğrudur.

ÖRNEK:        (-9) + 5 = ?
ÇÖZÜM:  Yukarıdaki işlemi 5 sayısının yazılmayan artı sembolünü yazarak (-9) + (+5) haline getirelim. (-9) ifadesi 9 lira borcumuz olduğu anlamına, (+5) ifadesi de cebimizde 5 lira paramız olduğu anlamına gelir. Toplama işleminde kural borcumuz varsa borcumuzu ödemekti. Dolayısıyla cebimizdeki parayı borcumuza veririz. 5 liramızı borcumuza ödedik fakat borcumuz bitmedi, geriye 4 lira daha borç kaldı. 4 lira borç demek sembolle (-4) anlamına gelir.
Öyleyse (-9) + (+5) = (-4) eder.

Öğrendiklerimizi Pekiştirelim:
Aşağıdaki toplama işlemlerini yukarıdaki anlatıma uygun düşünerek yapınız.
15 + 5 = ?
(+30) + 7 = ?
(+50) + (+100) = ?
(+40) + (-30) = ?
(-10) + (+9) = ?
(-15) + (-15) = ?
(-20) + 3 = ?
45 + (-25) = ?
13 + 0 = ?
0 + (-2) = ?
(+50) + (-50) = ?

TAM SAYILARDA ÇIKARMA

Çıkarma işlemini toplama işlemine çevirirken ilk sayıyı (eksilen) aynen yazacağız, çıkarma işaretini toplama işaretine çevireceğiz, ikinci sayının  (çıkan) zıt işaretlisini yazacağız.
» Yandaki örnekte (-3)-(-17) işlemi yapılırken ilk sayı olan (-3) aynen yazılmış, çıkarma sembolü toplama sembolüne dönmüş ve ikinci sayının yani (-17)’nin zıt işaretlisi olan (+17) yazılmıştır. Bundan sonrası ise artık toplama işlemidir. Toplama işleminde negatif sayılar borcu, pozitif sayılar sahip olduğumuz parayı göstermekteydi. Dolayısıyla 17 liramız varken 3 lirada borcumuz var. Borcumuzu ödediğimizde cebimizde 14 lira paramız kalacaktır.

Öğrendiklerimizi Pekiştirelim:
a) (-10) – (-10) =?
b) (-25) – (-5) =?
c) (+40) – (-40) =?
d) (-100) – (+100) =?
e) 0 – (-35) =?
f) 1 – (-1) =?
g) -80 – 5 =?

Aşağıda öğrendiklerimizi pekiştirelim kısmında sorulan soruların cevapları yer almaktadır. Eğer cevaplarınız doğru ise konuyu anladınız demektir, eğer yanlışlarınız fazla ise konu anlatımına tekrar çalışmanızı öneririz.

a) (-10) – (-10) = 0
b) (-25) – (-5) = -20
c) (+40) – (-40) = +80
d) (-100) – (+100) = -200 
e) 0 – (-35) = +35 
f) 1 – (-1) = +2
g) -80 – 5 = -85

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Toplama işleminde kullandığımız 4 tane özellik vardır. Bunlar değişme özelliği, birleşme özelliği, etkisiz eleman özelliği ve ters eleman özellikleridir.

1-DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Tam sayılarda toplama işlemi yaparken iki sayının yeri değişse de işlemin sonucu değişmez.
Aşağıdaki toplama işlemlerinde toplanan tam sayıların yerlerini değiştirdiğimizde işlemin sonucunun yine aynı olduğuna dikkat ediniz.
3 + 4 = 7                              4 + 3 = 7
(-5) + (-10) = -15               (-10) + (-5) = -15
(+40) + (-10) = +30           (-10) + (+40) = +30
Yukarıdaki işlemlerden de anlaşılacağı üzere tam sayılarda toplama işleminde sayıların yerleri değiştiğinde işlemin sonucu değişmez. 

2-BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Tam sayılarda toplama işlemi yaparken tam sayıları istediğimiz şekilde farklı ikişerli gruplara ayırıp toplayabiliriz, işlemin sonucu değişmez, her defasında aynı sonuç bulunur.
Aşağıda toplam durumunda verilen üç tam sayıyı istediğimiz şekilde farklı ikişerli gruplara ayırıp toplayacağız, sonuçların aynı bulunduğuna dikkat ediniz.
[ (-3) + (+5) ] + (+9) = (+2) + (+9) = +11
(-3) + [ (+5) + (+9) ] = (-3) + (+14) = +11

3-ETKİSİZ ELEMAN ÖZELLİĞİ

Sıfır (0) tam sayısı toplama işleminde sonuca etki etmeyen, sonucu etkilemeyen elemandır. Aşağıda sıfır (0) ile yapılan toplama işlemlerinde sıfırın sonuca etkisinin olmadığını göreceksiniz.
9 + 0 = 9
(-1) + 0 = -1
0 + 4 = 4
(+100) + 0 = +100
0 + (+12) = +12

4-TERS ELEMAN ÖZELLİĞİ

Bir tam sayının toplama işlemine göre tersi, kendisinin zıt işaretlisidir. Bir tam sayı ile bu tam sayının toplama işlemine göre tersinin toplamı her zaman sıfır olur.

ÖRNEK: Aşağıdaki tam sayıların toplama işlemine göre terslerini karşılarına yazalım.
5 → -5
-3 → +3

(-12) → (+12)
0 → 0

TAM SAYILARDA ÇARPMA

Tam sayılarda çarpma işleminde şu kurala göre hareket etmeliyiz.
1- Önce işlemin sonucunun işaretini belirlemeliyiz daha sonra sonucun sayısal değerini bulmalıyız. İşlemin sonucunun işaretini belirlemek için çarptığımız iki sayının işaretine bakmalıyız.

2- Çarptığımız sayıların işaretleri aynı ise sonucun işareti her zaman pozitif yani “+” olur.
3- Çarptığımız sayıların işaretleri farklı ise sonucun işareti her zaman negatif yani “-” olur.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

ÖRNEK: 3 x 5 = ?
ÇÖZÜM: Yukarıdaki sayıların önünde işareti yazılmamış, demek ki işaretleri pozitif. Öyleyse biz bu ifadeyi (+3) x (+5) şeklinde düşüneceğiz.
(+3) x (+5) = ? Önce işlemin sonucunun işaretini yazalım. Sayıların işareti aynı olduğu için işlemin sonucu pozitiftir. Sonucun işaretini bulduk. Şimdi sayıların işaretine bakmadan sonucu bulalım: 3 kere 5 = 15 eder.
Öyle ise; + x + = + (işaretler aynı olduğundan çarptığımızda sonuç + olur.)
3 x 5 = 15 eder.
(+3) x (+5) = +15 olur.

ÖRNEK: (-7) x 8 = ?
ÇÖZÜM: İlk önce sonucun işaretini belirleyelim. Yukarıdaki iki sayının işaretleri farklıdır. Dolayısı ile farklı işaretli bu iki sayıyı çarparsak sonucumuzun işareti negatif yani “-” olur.
– x + = – ( İşaretler farklı olduğundan çarptığımızda sonuç – olur.)
Şimdi sonucu bulalım: sonucun işareti belli olduğuna göre artık işaretlere bakmadan sayıları çarpabiliriz. 7 kere 8 = 56 eder.
7 x 8 = 56 eder.
Öyle ise; (-7) x 8 = -56 olur.

ÖRNEK: (-10) x (-5) = ?
ÇÖZÜM: – x – = + (İşaretleri aynı olduğundan sonuç + olur.)
10 x 5 = 50 eder.
Öyle ise; (-10) x (-5) = +50 olur.

NOT: Çarptığımız sayılar ikiden daha fazla ise sonucun işaretini sayıları ikişer ikişer ayırarak düşünmeliyiz. Ayrıca 6.sınıftan itibaren çarpma işleminin sembolü olan “x” sembolü yerine “.” sembolünü kullanmaktayız. Bu semboller aynı anlama gelmektedir. İki sembol arasında hiç bir fark yoktur.

ÖRNEK: 4 . (-2) . (-3) = ?
ÇÖZÜM:
  İlk önce 4 ile -2 yi çarparız. Bu sayıların işaretleri farklı olduğundan sonuç negatif olur.
»  Daha sonra bulduğumuz -8 ile -3 ü çarparız. Bu sayıların işaretleri aynı olduğundan sonuç pozitif olur.

NOT: Bir çarpma işleminde çarpım durumunda ne kadar çok sayı olursa olsun, bu sayılardan biri sıfır ise sonuçta sıfıra eşit olur.

ÖRNEK: 3 . (-8) . (-350) . (+45) . 0 . 76 . 98 . (-1) = ?
ÇÖZÜM: 3 . (-8) . (-350) . (+45) . 0 . 76 . 98 . (-1) = 0
Bu çarpma işleminin sonucu sıfıra eşittir. Çünkü sıfır yutan elemandır. Ayrıca sıfırın işareti de yoktur.

ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM:

Aşağıdaki çarpma işlemlerini yukarıda anlatıldığı gibi yapınız. (Bildiğiniz üzere

çarpma işaretini 6.sınıftan sonra “.” şeklinde öğrendik. Örneklerde de bu şekilde kullanılmıştır.)
10 . 2 = ?
(+3) . (+13) = ?
(+40) . (-4) = ?
(-8) . (+5) = ?
(-9) . (-20) = ?
7 . (-5) = ?
(-1) . (-1) = ?
(-2) . (+6) . (+3) = ?
(+12) . 0 . (-8) = ?
(-1) . (+1) . (-2) . (-3) = ?

TAM SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ

Tam Sayılarda Bölme İşleminin kuralı çarpma işleminin kuralı ile aynıdır. Bölme işleminde de aynı çarpma da olduğu gibi;
*Önce işlemin sonucunun işaretini belirlemeliyiz daha sonra sonucun sayısal değerini bulmalıyız. İşlemin sonucunun işaretini belirlemek için böldüğümüz iki sayının işaretine bakmalıyız.

*Böldüğümüz sayıların işaretleri aynı ise sonucun işareti her zaman pozitif yani “+” olur.
*Böldüğümüz sayıların işaretleri farklı ise sonucun işareti her zaman negatif yani “-” olur.

NOT: Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Sayıları sıfıra bölemeyiz. Kesirlerde de payda hiç bir zaman sıfır olamaz.

ÖRNEK: (+40) ÷ (-10) = ?
ÇÖZÜM: Önce işlemin sonucunun işaretini bulalım. Yukarıdaki sayıların işaretleri farklı olduğu için işlemin sonucu negatif yani”-” dir.
Şimdi sayıları işaretleri olmadan bölelim. 40 sayısını 10 sayısına bölersek cevap 4 olur.
Öyle ise; işlemin sonucu  (+40) ÷ (-10) = -4 olur.

ÖRNEK: (-100) ÷ 5 = ?
ÇÖZÜM: Önce sonucun işaretini bulalım. -100 negatif, 5 ise pozitif bir sayıdır. Öyleyse bu sayılar farklı işaretlidir. Farklı işaretli sayıları bölersek işlemin sonucunun işareti negatif yani “–” olacaktır.
Şimdi sayıları işaretleri olmadan bölelim. 100 sayısını 5 sayısına bölersek cevap 20 olur.
Öyle ise; işleminin sonucu (-100) ÷ 5 = -20

ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM:
Aşağıdaki bölme işlemlerini yukarıda anlatıldığı gibi yapınız.
50 ÷ 10 =
45 ÷ (-5) =
(-200) ÷ 10 =
(-500) ÷ (+4) =
(+1000) ÷ (-250) =
(-400) ÷ (-400) =
(+3) ÷ (-3) =
(-12) ÷ 12 =
(-100) ÷ (-50) =
0 ÷ 7 =
0 ÷ (-2) =
0 ÷ (+4) =

pulları ile modellenerek de yapılabilir. (+5) . (-2) işlemini sayma pulları ile modelleyerek -çözelim. Bunun için 5 tane 2 li sıfır çifti bulunan bir modele, 5 tane 2 li (-) pulu eklenebilir. Aşağıdaki şekli incel

eyiniz

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Tam sayılarda çarpma işlemi

Değime özelliğine sahiptir. (-2) . (+3) işleminin sonucu ile (+3) . (-2) işleminin sonucu aynıdır. Tam sayılarda çarpma işleminde terimlerin yer değiştirmesi çarpımı değiştirmez.
Birleşme Özelliği: [(-2) . (+4)] . (+2) işlemi ile (-2) . [ (+4) . (+2) ] işleminin sonucu aynıdır. Her iki çarpma işleminde de sonuç (-16) olarak bulunur. Tam sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

Çıkarma İşleminin Sayı Doğrusunda Gösterimi

Tam sayılarda çarpma işlemi ile ilgili, yukarıda verilen örnekte 4 . 2 işlemi, 4 tane 2 nin toplamı demektir. Dört defa iki birim ilerlenerek 8 sonucuna ulaşılmıştır. Bu soruyu isterseniz 2 . 4 şeklinde de çizebilirsiniz. İki kere 4 birim ilerleyerek sonucu yine 8 olarak bulursunuz.

Sayma Pulları ile Modelleyerek Çarpma
Tam sayılarda çarpma işlemi sayma pulları ile modellenerek de yapılabilir. (+5) . (-2) işlemini sayma pulları ile modelleyerek çözelim. Bunun için 5 tane 2 li sıfır çifti bulunan bir modele, 5 tane 2 li (-) pulu eklenebilir.

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Tam sayılarda çarpma işlemi DOĞAL SAYILARDA ÇÖZÜMLEME

Doğal sayılarda çözümleme yaparken verilen doğal sayıyı, rakamlarının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazarız. Doğal sayının rakamlarının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılmasına bu sayının çözümlenmesi denir.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

Soru 1: 23 608 sayısını çözümleyelim.
Çözüm 1: 23 608 = (2 x 10 000) + (3 x 1000) + (6 x 100) + (8 x 1) şeklinde çözümlenir.
Doğal sayılarda çözümleme yaparken sıfır (0) bulanan basamakları yazmaya gerek yoktur. Sıfırın bulunduğu basamağı atlayarak bir sonraki basamaktan çözümlemeye devam ederiz. Yukarıdaki örnekte onlar basamağı sıfır olduğu için yazılmamıştır.

Soru 2: Çözümlenişi (5 x 1000) + (2 x 100) + (4 x 10) olan doğal sayıyı yazınız.
Çözüm 2: Çözümlenmiş olarak verilen doğal sayı; binler basmağında 5, yüzler basamağında 2 ve onlar basamağında 4 olan bir sayıdır. Bu rakamları basamaklarına yerleştirecek olursak; 5 240 sayısını elde ederiz. Çözümlemede birler basamağı bulunmadığı için birler basamağına sıfır yazdık.

Doğal sayılarda çözümleme yaparken dikkat etmeniz gereken husus basamaklardır. Hangi rakamın hangi basamakta bulunduğu çok önemlidir. Tek bir basamak hatası, sayıyı yanlış çözümlemenize neden olur. Basamak isimleri ile ilgili eksiklikleriniz var ise doğal sayılar konu anlatımında basamak değerleri tablosundan ezber yapabilirsiniz.

için bu tam sayılar toplanır ve sonucun işareti ise ortak işaret olan (-) işaretidir.
ÖRNEK 1 : (+5) + (+7) = +12
ÖRNEK 2 : (-7) + (-10) = -17

Farklı İşaretli Tam Sayılarda Toplama İşlemi
Farklı işaretli tam sayılarda toplama işlemi yapılırken, sayıların mutlak değerleri bulunur. Bu değerlerin büyük olanından küçük olan çıkarılır. Elde edilen sayının soluna mutlak değerce büyük olan sayının işareti yazılır. Aşağıdaki örnekte verilen +4 ve -8 tam sayıları toplanırken, zıt işaretli oldukları için büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarırız. Sonuca ise büyük sayının işaretini yazarız.
ÖRNEK 1 : (+4) + (-8) = -4
ÖRNEK 2 : (-10) + (+7) = -3

Herhangi bir sayının sıfır ile toplamı sayının kendisine eşittir.
0 + (-12) = -12Mutlak değeri eşit ve ters işaretli iki tam sayının toplamı sıfırdır.
(+23)+(-23) = 0İkiden fazla tam sayının toplamı bulunurken, aynı işaretli sayılar kendi aralarında toplandıktan sonra ters işaretli sayıların toplanması kolaylık sağlar.
SORU : (-12) + (+5) + (-8) + (+7) işleminin sonucunu bulunuz.

ÇÖZÜM : Aynı işaretli tam sayıları bir araya getirerek kendi aralarında toplarız. Daha sonra ise farklı işaretli iki tam sayı toplamı kuralından, birbirinden çıkararak büyük olan sayının işaretini sonuca ekleriz.
(-12) + (-8) + (+7) + (+5)
(-20) + (+12) = -8

BİR TAM SAYININ TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
İki tam sayının toplamı sıfıra eşit ise bu sayılar toplama işlemine göre birbirinin tersidir. Negatif bir tam sayının toplama işlemine göre tersi pozitif, pozitif bir tam sayının toplama işlemine göre tersi negatif bir tam sayıdır. Sıfırın toplama işlemine göre tersi sıfırdır.
(+9) un toplama işlemine göre tersi (-9),
(-32) nin toplama işlemine göre tersi +32,
0 (sıfır) ın toplama işlemine göre tersi 0 (sıfır) dır.

Toplama İşleminin Sayı Doğrusunda Gösterilmesi
Tam sayılarda toplama işlemi sayı doğrusu üzerinde gösterilirken; eklenen sayı pozitif ise sayı doğrusu üzerinde sağa doğru, eklenene sayı negatif ise sola doğru ilerlenir.Yukarıda verdiğimiz örnekte verilen tam sayıların her ikisi de pozitif sayı olduğu için sağa doğru ilerleyerek sonucu +8 olarak bulduk. Örneğimiz (+3) + (-5) şeklinde olsaydı; ilk önce 3 birim sağa ilerleyerek +3′ e gelirdik. Daha sonra beş birim sola doğru ilerlerdik (5 negatif olduğu için). Sonucu -2 olarak bulurduk.

TAM SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ ÖZELLİKLERİ
1-Kapalılık Özelliği
2-Değişme Özelliği
3-Birleşme Özelliği
4-Etkisiz Eleman Özelliği
5-Ters Eleman Özelliği

Kapalılık Özelliği: iki tam sayının toplamı yine bir tam sayıdır.
(+8) + (+4) = +12 örneğinde toplanan tam sayıların sonucu olan +12 bir tam sayıdır.
Değişme Özelliği: Tam sayılarda yapılan toplama işleminde terimlerin yerlerinin değişmesi sonucu değiştirmez.
(-4) + (-3) = -7
(-3) + (-4) = -7
Birleşme Özelliği: Tam sayılarda toplama işlemi yapılırken, terimler ikişer ikişer değişik biçimlerde gruplandırılarak toplanırsa sonuç değişmez.
[(+7) + (-5)] + (+8) = +10
(+7)+ [(-5) + (+8)] = +10
Yukarıda verilen örneklerde birinci işlemde ilk önce +7 ile -5 toplanarak +2 bulunur. Daha sonra +8 ile toplanarak +10 sonucu elde edilir. İkinci işlem de ise ilk önce -5 ve +8 toplanarak +3 sonucu elde edilir. Daha sonra +7 ile +3 toplanarak +10 sonucuna ulaşılır. Görüldüğü üzere toplama işleminde birleşme özelliği vardır.
Etkisiz Eleman Özelliği: Bir tam sayının sıfır (0) ile toplamı yine kendisine eşittir. Bu nedenle sıfır (0) toplama işleminin etkisiz elemanıdır.
Ters Eleman Özelliği: Mutlak değerleri eşit, işaretleri zıt olan iki tam sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir. (-5) ve (+5) tam sayılarının mutlak değerleri birbirine eşit ve işaretleri birbirinin tersi olduğu için bu sayılar birbirinin tersidir.

TAM SAYILARDA ÇIKARMA

Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken; çıkanın işareti değiştirilir ve eksilen sayı ile toplanır. Aşağıdaki örneği inceleyiniz.

Örnek: (+6) – (-4) işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: İlk önce çıkan sayının işaretini değiştirelim. Eksilen sayımız olan -4 işaret değiştirerek +4 olacaktır ve bu tam sayılar arasındaki işlem toplamaya dönüşecektir. İfademizin yeni hali aşağıdaki gibidir.
(+6) + (+4)
Şimdi ise toplama işlemini yapalım. Aynı işaretli oldukları için toplayarak sonuca ortak işareti yazarız.
(+6) + (+4)= +10 olarak bulunur.

Tam sayılarda çıkarma işlemini modelleme ile yapalım. Aşağıdaki örnekte (-5) – (-3) işlemi modelleyerek yapılmıştır.

TAM SAYILARDA ÇARPMA

Tam sayılarda çarpma işlemi, terimleri aynı olan toplama işleminin kısa yoldan yapılışıdır. ÖRNEĞİN; +5 +5 +5 +5 =20 işleminde 4 tane 5 toplanmıştır. Bu işlem kısaca 4 . 5 = 20 şeklinde de yapılabilir.

Tam sayılarla çarpma işleminde;

Aynı işareti iki tam sayının çarpı pozitiftir. Farklı işaretli iki tam sayının çarpımı ise negatiftir. Aşağıdaki çarpma işlemi ile ilgili örnekleri inceleyiniz.

Tam sayılarda çarpma işlemi ile ilgili, yukarıda verilen örnekte 4 . 2 işlemi, 4 tane 2 nin toplamı demektir. Dört defa iki birim ilerlenerek 8 sonucuna ulaşılmıştır. Bu soruyu isterseniz 2 . 4 şeklinde de çizebilirsiniz. İki kere 4 birim ilerleyerek sonucu yine 8 olarak bulursunuz.

Sayma Pulları ile Modelleyerek Çarpma
Tam sayılarda çarpma işlemi sayma değime özelliğine sahiptir. (-2) . (+3) işleminin sonucu ile (+3) . (-2) işleminin sonucu aynıdır. Tam sayılarda çarpma işleminde terimlerin yer değiştirmesi çarpımı değiştirmez.
Birleşme Özelliği: [(-2) . (+4)] . (+2) işlemi ile (-2) . [ (+4) . (+2) ] işleminin sonucu aynıdır. Her iki çarpma işleminde de sonuç (-16) olarak bulunur. Tam sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır

Yutan Eleman Özelliği: Bütün tam sayıların sıfır (0) ile çarpımı sıfırdır. Sıfır çarpma işleminde yutan elemandır.
Etkisiz Eleman Özelliği: Tam sayılarda yapılan çarpma işleminde bir (1) etkisiz elemandır. Bütün tam sayıların bir (1) ile çarpımı kendisine eşittir.
Dağılma Özelliği: Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği vardır

TAM SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ

Tam sayılarla bölme işlemi yaparken dikkat etmemiz gereken en önemli nokta verilen tam sayıların işaretleridir. Verilen tam sayılar aynı işaretli ise; bölümün sonucu pozitiftir. Farklı işaretli iki tam sayının bölümü ise negatiftir.

Aynı işaretli iki tam sayı bölünürken sayıların mutlak değerleri bölünüp, bulunan sonucun soluna + işareti yazılır.

Farklı işaretli iki tam sayı bölünürken sayıların mutlak değerleri bölünüp, bulunan sonucun soluna – işareti yazılır.

1-Bir tam sayının +1 e bölümü, sayının kendisine eşittir.
2-Bir tam sayının -1 e bölümü sayının toplama işlemine göre tersine eşittir.
3-Bir tam sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
4-Sıfırın bir tam sayıya (sıfır hariç) bölümü sıfırdır.
5-Bir tam sayıyı 10 veya 10 un kuvvetleri ile bölerken bölünen tam sayının basamaklarından 10 un kuvvetinde bulunan sayı kadarı sağdan sola doğru sayılarak virgülle ayrılır. Eksik kalan basamaklar sıfır ile tamamlanır.

EMEĞİ GEÇENLERE TEŞEKKÜR EDERİM)ALINTI. (SND)

Sitemdeki yazıların kaynağı verilmemiş olanların kaynakları bilinmediğindendir. Hak sahipleri talep ettiği anda kaynağı yazılır ya da yazı siteden kaldırılır. Kendi yazılarımın altında ismim vardır. Bu sitedeki yazıların yasalara aykırı kullanımı siteyi değil kullanıcıyı bağlar. Bu site hiçbir menfaat gözetilmeksizin sadece bilgi sağlama amacıyla kurulmuştur ve ticari hiçbir çıkarı yoktur. Ziyaretçilerden tek talebim DUA’dır.İyi günler sizinle olsun.