MUTLAK DEĞER

MUTLAK DEĞER 

Sayı doğrusu üzerinde bir x ∈ R sayısının sıfıra olan uzaklığına Mutlak Değer denir.
|x| ifadesi alttaki şartlarda belirltilen değerlerileri alır.
1) x > 0 ise |x|= x
2) x < 0 ise |x|= -x
3) x=0 ise |x|= 0
Böyle olduğu için bilinen bir sayının mutlak değeri bulunmak istendiğinde her zaman pozitif değerler alacaktır.

MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ

1) |x| ≥ 0

2) |x|=|-x|. Örneğin |x-y|=|y-x|, |3-a|=|a-3| gibi
3) |x²|=|x|²= x² ve √x = |x|
4) |x.y|=|x|.|y|
5) |x/y|=|x|/|y|
6) c>0 için |x-a|= c ise x-a = ± c dir. x = a ± c
7) |x-a|≤ c için -c ≤ x-a ≤ c => a-c ≤ x ≤ a+c
8) |x-a|≥ c için x-a ≥ c veya x-a ≤ -c
9) ||a| – |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|

ÖRNEK 1:
0≤a<2 olmak üzere,
|2-a-|3+|a-2|||
işleminin sonucu nedir ?
ÇÖZÜM 1:
|2-a-|3+|a-2|||
Öncelikle en içteki mutlak değerli ifadeye bakalım.
a<2 şartı soruda verilmiş o halde a-2 ifadesi negatif bir ifade olacaktır. |a-2| ifadesinin pozitif olması için |a-2|=-(a-2) olarak dışarıya çıkar.
|2-a-|3-a+2||=|2-a-|5-a||
Yine en içteki mutlak değerli ifadeye bakalım a<2 olduğundan 5-a ifadesi daima pozitiftir ve |5-a|=5-a olarak yani olduğu gibi dışarı çıkar.
Bu durumda:
|2-a-(5-a)|=|2-a-5+a|=|-3|=-(-3)=3 bulunur

ÖRNEK 2:
|5k-1|=-5k+1
ise k’nın alabileceği iki farklı tam sayı değerinin toplamı en çok kaç olabilir ?
ÇÖZÜM 2:
|5k-1| ifadesi -5k+1 olarak dışarı çıkmış ise 5k-1≤0 olur.
Yani 5k≤1 ise k≤1/5 olur.
Bu durumda k’nın alabileceği en büyük iki tam sayı 0 ve -1 olabilir.
0+(-1)=-1 bulunur.

ÖRNEK 3:
|1+|x-1||=21
ise, x’in alabileceği değerler toplamı kaçtır ?
ÇÖZÜM 3:
|1+|x-1||=21
Burada 2 durum vardır. Bunları ayrı ayrı inceleyelim
i) x>1 ise x-1 ifadesi |x-1|=x-1 olarak dışarıya çıkar.
|1+x-1|=21
|x|=21
x₁=21 olur.
ii) x<1 ise x-1 ifadesi negatif olacağından |x-1|=-x+1 olur.
|1-x+1|=21
|2-x|=21
2-x=21
x₂=-19 olur.
x₁+x₂=21-19=2 olarak bulunur

ÖRNEK 4:
2<|3-a|+1≤7
eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır ?
ÇÖZÜM 4:
2<|3-a|+1≤7 her taraftan 1 çıkaralım.
2-1<|3-a|+1-1≤7-1
1<|3-a|≤6 bu ifade ise

1<3-a≤6 ya da 1<a-3≤6 olur.
1. ifadeye bakalım:
1<3-a≤6 (her taraftan 3 çıkaralım)
1-3<3-a-3≤6-3
-2<-a≤3 ise bu ifadeyi (-) ile çarptığımızda işaret ve yön değişir.
2>a≥-3 olur.
Ç.K=(2,-3]
2. ifadeye bakalım:
1<a-3≤6 (her tarafa 3 ekleyelim)
1+3<a-3+3≤6+3
4<a≤9 olur.Ç.K=(4,9]
Bulduğumuz eşitsizliklerin çözüm kümelerinin birleşimi
Ç.K=[-3,2)U(4,9]
a=-3,-2,-1,0,1
a=5,6,7,8,9
a’nın alabileceği değerler toplamı:
-3-2-1+0+1+5+6+7+8+9=30

Soru 1
x<2 ise |x-2| ifadesinin eşiti nedir ?
Çözüm
Bunu iki farklı yolla çözelim.İlk önce bu x sayısı 2’den küçük olmalıdır.Küçük bir sayıdan büyük bir sayıyı çıkartıyoruz.Bu nedenle mutlak değerin içerisi negatif olacaktır.Negatif olduğundan dolayı ters işaretli çıkacaktır.
Veyahut , x<2 verilmiş zaten 2’yi sol tarafa yollarsak sağ taraf 0 olacaktır.
x-2<0 olacaktır yani.Bu durumda x-2 0’dan küçük olduğundan ters işaretli çıkacaktır.
O halde cevabımız (-x+2) = (2-x)
Soru 2
|2x-10| ifadesini en küçük yapan x değerini bulalım.
Çözüm
Bizden istenen x’in en küçük olması değil ifadenin en küçük olması mutlak değerli bir ifade en az 0 olabilir.0’dan küçük olamaz. O halde
2x-10=0
2x=10
x=5 olur.

Soru 3
A=|x-3|+|x+4| ise A’nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm
İfadenin en küçük olması için mutlak değerli ifade en az 0 olacaktır.Bu nedenle her ikisini ilk önce 0’a eşitleyelim.Daha sonra bulduğumuz x değerlerini yerlerine koyalım.
x-3=0 için
x=3 olur.(Yerine koyalım)
A=0+|7|
A=7 bulduk.Bir de diğer x değeri için bakalım
x+4=0 için
x=-4
A=|-7|=7 olur.Her ikisinde de 7 bulduk.O halde cevabımız 7 olacaktır.Eğer birisi 7 diğeri daha küçük bir değer olsaydı cevabımız küçük değer olcaktı.
Soru 4
|x-y+1|+|x+2|= 0 ise y kaçtır ?
Çözüm
Dediğimiz gibi bir mutlak değerli ifade en az 0 olabilir.Mesela birisi -1 diğeri 1 olamaz.Bu durumda sonucun 0 olması için her iki ifadenin de 0 olması gerekmektedir.
x-y+1=0
x-y=-1
x+2=0x=-2
-2-y=-1
y=-1 bulunur.
Soru 5
|2x-5|=7 denkleminin çözüm kümesi nedir ?
Çözüm
Bunu ilk öncelikle farklı bir örnekle gösterelim.
|x|=2 için
x=2 veya x=-2 olabilir.Değil mi ?
Burada da
2x-5=7 ve 2x-5=-7
2x=12 2x=-2
x=6 x=-1
ÇK={6,-1}
Soru 6
3|x-5|+5=2 denkleminin çözüm kümesi nedir ?
Çözüm
3|x-5|=-3
|x-5|=-1 olur.Mutlak değerli bir ifade negatif olamaz.
ÇK = {}

EMEĞİ GEÇENLERE TEŞEKKÜR EDERİM)ALINTI.

Sitemdeki yazıların kaynağı verilmemiş olanların kaynakları bilinmediğindendir. Hak sahipleri talep ettiği anda kaynağı yazılır ya da yazı siteden kaldırılır. Kendi yazılarımın altında ismim vardır. Bu sitedeki yazıların yasalara aykırı kullanımı siteyi değil kullanıcıyı bağlar. Bu site hiçbir menfaat gözetilmeksizin sadece bilgi sağlama amacıyla kurulmuştur ve ticari hiçbir çıkarı yoktur. Ziyaretçilerden tek talebim DUA’dır.İyi günler sizinle olsun.